Упр.4.41 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Из вершины прямого угла треугольника $$ABC$$ проведена высота $$BD$$. Найдите угол $$CBD$$, зная, что: 1) угол $$A=20^\circ$$; 2) угол $$A=65^\circ$$; 3) угол $$A=\alpha$$.

Так как $$BD$$ — высота, то $$BD\perp AC$$, значит $$\angle ADB=90^\circ$$.

Рассмотрим треугольник $$ABD$$. В нём

$$\angle BAD+\angle ADB+\angle DBA=180^\circ.$$

Тогда

$$\angle DBA=180^\circ-\angle BAD-\angle ADB=180^\circ-\angle A-90^\circ=90^\circ-\angle A.$$

Теперь в прямом угле $$\angle ABC$$ имеем

$$\angle ABC=\angle DBA+\angle CBD=90^\circ.$$

Следовательно,

$$\angle CBD=90^\circ-\angle DBA=90^\circ-(90^\circ-\angle A)=\angle A.$$

Значит:

1. при $$\angle A=20^\circ$$ получаем $$\angle CBD=20^\circ$$;
2. при $$\angle A=65^\circ$$ получаем $$\angle CBD=65^\circ$$;
3. при $$\angle A=\alpha$$ получаем $$\angle CBD=\alpha$$.

Ответ: $$20^\circ;\ 65^\circ;\ \alpha.$$