Упр.15.41 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
По стороне основания $$a$$ и боковому ребру $$b$$ найдите объём правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырёхугольной; 3) шестиугольной.
Обозначим через $$O$$ центр основания правильной $$n$$-угольной пирамиды, через $$A$$ и $$B$$ — соседние вершины основания, а через $$H$$ — середину стороны $$AB$$. Тогда $$AB=a$$, $$\angle AOB=\dfrac{360^\circ}{n}$$.
Треугольник $$AOB$$ равнобедренный, так как $$OA=OB=R$$. Поэтому $$OH$$ — и высота, и медиана, и биссектриса этого треугольника. Следовательно,
$$AH=\frac{a}{2}, \qquad \angle AOH=\frac{1}{2}\angle AOB=\frac{180^\circ}{n}.$$
В прямоугольном треугольнике $$AOH$$ имеем
$$\tg \angle AOH=\frac{AH}{OH}, \qquad OH=\frac{AH}{\tg \angle AOH}=\frac{a}{2\tg \frac{180^\circ}{n}}.$$
Площадь основания равна
$$S_{\text{осн}}=n\cdot S_{AOB}=n\cdot \frac12 \cdot AB \cdot OH=n\cdot \frac12 \cdot a \cdot \frac{a}{2\tg \frac{180^\circ}{n}}=\frac{na^2}{4\tg \frac{180^\circ}{n}}.$$
Высота пирамиды находится из прямоугольного треугольника, где боковое ребро равно $$b$$:
$$h=\sqrt{b^2-R^2},$$
а радиус описанной окружности основания равен
$$R=\frac{a}{2\sin \frac{180^\circ}{n}}.$$
Значит,
$$h=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4\sin^2 \frac{180^\circ}{n}}}.$$
Тогда объём пирамиды:
$$V=\frac13 S_{\text{осн}}h=\frac{na^2}{12\tg \frac{180^\circ}{n}}\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4\sin^2 \frac{180^\circ}{n}}}.$$
Теперь подставим значения $$n$$.
Для правильной треугольной пирамиды $$n=3$$:
$$V=\frac{3a^2}{12\tg 60^\circ}\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4\sin^2 60^\circ}}=\frac{a^2}{4\sqrt3}\sqrt{b^2-\frac{a^2}{3}}=\frac{a^2}{12}\sqrt{3b^2-a^2}.$$
Для правильной четырёхугольной пирамиды $$n=4$$:
$$V=\frac{4a^2}{12\tg 45^\circ}\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4\sin^2 45^\circ}}=\frac{a^2}{3}\sqrt{b^2-\frac{a^2}{2}}=\frac{a^2}{6}\sqrt{4b^2-2a^2}.$$
Для правильной шестиугольной пирамиды $$n=6$$:
$$V=\frac{6a^2}{12\tg 30^\circ}\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4\sin^2 30^\circ}}=\frac{\sqrt3\,a^2}{2}\sqrt{b^2-a^2}=\frac{a^2}{2}\sqrt{3\left(b^2-a^2\right)}.$$
Ответ: 1) $$\frac{a^2}{12}\sqrt{3b^2-a^2}$$; 2) $$\frac{a^2}{6}\sqrt{4b^2-2a^2}$$; 3) $$\frac{a^2}{2}\sqrt{3\left(b^2-a^2\right)}$$.
