Упр.14.41 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что среди всех параллелограммов с данными диагоналями наибольшую площадь имеет ромб.
Пусть $$ABCD$$ — параллелограмм с данными диагоналями $$AC$$ и $$BD$$, а его площадь равна $$S$$.
По формуле площади параллелограмма через диагонали и угол между ними имеем:
$$S=\frac12\cdot AC\cdot BD\cdot \sin\angle AOD.$$
Так как $$\sin\alpha\le 1$$ при любом угле $$\alpha$$, то наибольшее значение площади достигается при
$$\sin\angle AOD=1,$$
то есть при $$\angle AOD=90^\circ.$$
В параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам, значит
$$AO=OC,\qquad BO=OD.$$
Треугольники $$AOB$$, $$BOC$$, $$COD$$ и $$AOD$$ — прямоугольные, у них попарно равны катеты, поэтому они равны по двум катетам. Следовательно, их гипотенузы равны:
$$AB=BC=CD=DA.$$
Значит, все стороны параллелограмма равны, то есть $$ABCD$$ — ромб.
Итак, среди всех параллелограммов с данными диагоналями наибольшую площадь имеет ромб.
