Упр.7.41 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Дано: три положительных числа a, b и c; каждое из этих чисел меньше
суммы двух других;
Доказать: существует треугольник со сторонами a, b и c;
Доказательство:
1) Пусть существуют точки A, B и C, расстояния между которыми равны:
AB=c, BC=a и AC=b;
2) AB < BC+AC, BC < AB+AC и AC < AB+BC;
2) Допустим, что эти точки не образуют треугольник, тогда они будут
лежать на одной прямой;
3) Точка C не лежит между точками A и B, так как: AB=/=AC+BC;
4) Точка A не лежит между точками B и C, так как: BC=/=AB+AC;
5) Точка B не лежит между точками A и C, так как: AC=/=AB+BC;
6) Таким образом, ни одна из точек не лежит между двумя другими,
следовательно они не могут лежать на одной прямой;
7) Наше предположение неверно, значит точки A, B и C являются
вершинами треугольника ABC, у которого стороны равны a, b и c,
что и требовалось доказать.
Пусть существуют точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ такие, что $$AB=c$$, $$BC=a$$, $$AC=b$$.
По условию каждое из чисел меньше суммы двух других, значит
$$AB<BC+AC,\quad BC<AB+AC,\quad AC<AB+BC.$$
Предположим, что точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ не являются вершинами треугольника. Тогда они лежат на одной прямой.
Если бы точка $$C$$ лежала между $$A$$ и $$B$$, то было бы $$AB=AC+BC$$, но это противоречит неравенству $$AB<AC+BC$$.
Если бы точка $$A$$ лежала между $$B$$ и $$C$$, то было бы $$BC=AB+AC$$, что противоречит неравенству $$BC<AB+AC$$.
Если бы точка $$B$$ лежала между $$A$$ и $$C$$, то было бы $$AC=AB+BC$$, что противоречит неравенству $$AC<AB+BC$$.
Значит, ни одна из точек не лежит между двумя другими, следовательно, они не могут лежать на одной прямой.
Итак, точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ неколлинеарны, значит, они являются вершинами треугольника $$ABC$$ со сторонами $$a$$, $$b$$ и $$c$$.
Ответ
Существует треугольник со сторонами $$a$$, $$b$$ и $$c$$.
