Упр.13.41 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Решите задачу 40 для правильного 12-угольника.

Пусть $$R$$ — радиус описанной окружности, тогда диаметр этой окружности равен $$d=2R$$.

Для правильного $$12$$-угольника сторона выражается через радиус описанной окружности так:

$$a_{12}=R\sqrt{2-\sqrt{3}}.$$

Тогда периметр правильного $$12$$-угольника:

$$P=12a_{12}=12R\sqrt{2-\sqrt{3}}.$$

Найдём отношение периметра к диаметру окружности:

$$\frac{P}{d}=\frac{12R\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2R}=6\sqrt{2-\sqrt{3}}.$$

Вычислим приближённо:

$$\sqrt{3}\approx 1{,}73,\qquad 2-\sqrt{3}\approx 0{,}27,\qquad \sqrt{0{,}27}\approx 0{,}52,$$

поэтому

$$\frac{P}{d}\approx 6\cdot 0{,}52\approx 3{,}11.$$

Сравним с $$\pi\approx 3{,}14$$: получаем, что это отношение немного меньше $$\pi$$.

Ответ: $$\frac{P}{d}\approx 3{,}11<\pi.$$