Упр.10.40 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний от которых до двух данных точек постоянна, есть окружность с центром в середине отрезка, соединяющего данные точки.

Пусть $$A$$ и $$B$$ — данные точки, а $$M$$ — произвольная точка искомого геометрического места, для которой

$$AM^2+BM^2=\text{const}.$$

Обозначим через $$O$$ середину отрезка $$AB$$. Тогда в треугольнике $$ABM$$ отрезок $$MO$$ является медианой. По формуле для медианы:

$$MO=\frac12\sqrt{2\left(AM^2+BM^2\right)-AB^2}.$$

Так как по условию сумма $$AM^2+BM^2$$ постоянна, а $$AB$$ — фиксированный отрезок, то и длина $$MO$$ постоянна.

Значит, все точки $$M$$ находятся на одинаковом расстоянии от точки $$O$$. А множество всех точек, равноудалённых от одной фиксированной точки, есть окружность с центром в этой точке.

Следовательно, геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний от которых до двух данных точек постоянна, есть окружность с центром в середине отрезка, соединяющего данные точки.