Упр.9.40 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- По одну сторону от железной дороги расположены два населённых пункта. В каком месте следует построить железнодорожную платформу данной длины, чтобы сумма расстояний от неё до населённых пунктов была наименьшей? (Два случая.)
Пусть $$M_1M_2$$ — длина платформы, а $$A’$$ и $$B’$$ — основания перпендикуляров, опущенных из точек $$A$$ и $$B$$ на железную дорогу.
Рассмотрим два случая.
1. Если $$M_1M_2<A’B’$$
Построим точку $$A_1$$ так, чтобы $$AA_1\parallel M_1M_2$$ и $$AA_1=M_1M_2$$, а на продолжении перпендикуляра $$BB’$$ отложим $$B’B_1=M_1M_2$$. Тогда четырехугольник $$AA_1M_2M_1$$ — параллелограмм, значит
$$A_1M_2=AM_1.$$
Кроме того, треугольник $$BB_1M_2$$ равнобедренный, поэтому
$$B_1M_2=M_2B.$$
Следовательно,
$$AM_1+M_2B=A_1M_2+M_2B_1=A_1B_1.$$
Значит, сумма расстояний $$AM_1+M_2B$$ будет наименьшей тогда, когда платформа расположена так, чтобы точки $$M_1$$ и $$M_2$$ лежали на прямой $$A_1B_1$$, а отрезок $$M_1M_2$$ был параллелен железной дороге.
2. Если $$M_1M_2\ge A’B’$$
В этом случае платформу следует расположить так, чтобы отрезок $$A’B’$$ целиком лежал внутри отрезка $$M_1M_2$$. Тогда расстояние от точки $$A$$ до платформы равно $$AA’$$, а от точки $$B$$ до платформы — $$BB’$$.
Поскольку кратчайшее расстояние от точки до прямой измеряется перпендикуляром, то именно эти расстояния минимальны.
Итак, если $$M_1M_2<A’B’$$, платформу нужно расположить так, чтобы после указанного построения точки $$M_1$$ и $$M_2$$ лежали на прямой $$A_1B_1$$; если же $$M_1M_2\ge A’B’$$, то достаточно поместить платформу так, чтобы отрезок $$A’B’$$ оказался внутри неё.
