Упр.8.40 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Найдите точку пересечения прямых, заданных уравнениями:
   1) $$x+2y+3=0$$, $$4x+by+6=0$$;
   2) $$3x-y-2=0$$, $$2x+y-8=0$$;
   3) $$4x+5y+8=0$$, $$4x-2y-6=0$$.

Точка пересечения двух прямых принадлежит обеим прямым, значит её координаты удовлетворяют обоим уравнениям системы.

Ход решения

1) $$x+2y+3=0,$$ $$4x+5y+6=0.$$

Из первого уравнения выразим $$x$$:

$$x=-3-2y.$$

Подставим во второе уравнение:

$$4(-3-2y)+5y+6=0,$$

$$-12-8y+5y+6=0,$$

$$-3y-6=0,$$

$$-3y=6,$$

$$y=-2.$$

Тогда

$$x=-3-2\cdot(-2)=1.$$

Следовательно, точка пересечения: $$\left(1;\,-2\right).$$

2) $$3x-y-2=0,$$ $$2x+y-8=0.$$

Из второго уравнения выразим $$y$$:

$$y=8-2x.$$

Подставим в первое уравнение:

$$3x-(8-2x)-2=0,$$

$$3x-8+2x-2=0,$$

$$5x-10=0,$$

$$5x=10,$$

$$x=2.$$

Найдём $$y$$:

$$y=8-2\cdot2=4.$$

Следовательно, точка пересечения: $$\left(2;\,4\right).$$

3) $$4x+5y+8=0,$$ $$4x-2y-6=0.$$

Из второго уравнения выразим $$y$$:

$$4x-2y-6=0,$$

$$2x-y-3=0,$$

$$y=2x-3.$$

Подставим в первое уравнение:

$$4x+5(2x-3)+8=0,$$

$$4x+10x-15+8=0,$$

$$14x-7=0,$$

$$14x=7,$$

$$x=\frac{1}{2}.$$

Найдём $$y$$:

$$y=2\cdot\frac{1}{2}-3=1-3=-2.$$

Следовательно, точка пересечения: $$\left(\frac{1}{2};\,-2\right).$$

Ответ

1) $$\left(1;\,-2\right)$$; 2) $$\left(2;\,4\right)$$; 3) $$\left(\frac{1}{2};\,-2\right)$$.