Упр.10.40 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний от
которых до двух данных точек постоянна, есть окружность с центром в
середине отрезка, соединяющего данные точки;
Доказательство:
1) Пусть A и B-данные точки;
2) Выберем точку M-одну из точек, сумма квадратов расстояний, от
которых до точек A и B есть постоянная величина;
3) Отметим точку O-середину отрезка AB;
4) В треугольнике ABM отрезок MO является медианой, воспользуемся
формулой, выведенной в задаче 10.39:
MO=1/2 v(2(AM^2+BM^2)-AB^2);
4) По условию (AM^2+BM^2)-постоянная величина для любой из
выбранных точек M, значит и длина отрезка MO-постоянна;
5) По определению множество всех точек равноудаленных от точки O
является окружностью с центром в этой точке, что и требовалось
Доказать.

Подробный ответ

Пусть $$A$$ и $$B$$ — данные точки, а $$M$$ — произвольная точка искомого геометрического места. Обозначим через $$O$$ середину отрезка $$AB$$.

Тогда в треугольнике $$ABM$$ отрезок $$MO$$ является медианой. По формуле для медианы треугольника имеем:

$$ MO=\frac{1}{2}\sqrt{2\left(AM^2+BM^2\right)-AB^2}. $$

По условию задачи сумма квадратов расстояний до точек $$A$$ и $$B$$ постоянна, то есть величина $$AM^2+BM^2$$ не зависит от выбора точки $$M$$. Следовательно, и длина $$MO$$ постоянна.

Значит, все такие точки $$M$$ находятся на одинаковом расстоянии от точки $$O$$. А множество всех точек плоскости, равноудалённых от фиксированной точки, есть окружность с центром в этой точке.

Итак, геометрическое место точек — окружность с центром в середине отрезка $$AB$$.