Упр.14.40 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что если диагонали четырёхугольника пересекаются, то площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
Пусть $$ABCD$$ — данный четырёхугольник, а $$O$$ — точка пересечения его диагоналей. Обозначим острый угол между диагоналями $$AC$$ и $$BD$$ через $$\alpha$$. Тогда $$\angle AOB=\angle DOC=\alpha$$ как вертикальные углы.
Опустим из точек $$B$$ и $$D$$ перпендикуляры $$BE$$ и $$DF$$ на прямую $$AC$$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BOE$$. Тогда
$$\sin \angle AOB=\frac{BE}{OB},$$
откуда
$$BE=OB\sin \alpha.$$
Аналогично, из прямоугольного треугольника $$DOF$$ получаем
$$\sin \angle DOC=\frac{DF}{OD},$$
следовательно,
$$DF=OD\sin \alpha.$$
Теперь найдём площадь четырёхугольника как сумму площадей треугольников $$ABC$$ и $$ADC$$:
$$S=S_{ABC}+S_{ADC} =\frac12 AC\cdot BE+\frac12 AC\cdot DF.$$
Подставим найденные выражения для $$BE$$ и $$DF$$:
$$S=\frac12 AC\cdot OB\sin\alpha+\frac12 AC\cdot OD\sin\alpha =\frac12 AC\,(OB+OD)\sin\alpha.$$
Так как $$OB+OD=BD$$, то
$$S=\frac12 AC\cdot BD\sin\alpha.$$
Что и требовалось доказать.
