Упр.6.40 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Доказать: если у прямоугольника диагонали перпендикулярны, то
он является квадратом;
1) Пусть ABCD-данный прямоугольник, у которого диагонали AC и
BD перепендкулярны и пересекаются в точке O, тогда по свойству
прямоугольника: AO=OC=BO=OD;
2) Прямоугольные треугольники AOB, BOC, COD и DOA равны по двум
катетам, отсюда следует равенство их гипотенуз: AB=BC=CD=DA;
3) Так как у прямоугольника ABCD все стороны равны, то он является
квадратом (по определению), что и требовалось доказать.

Пусть $$ABCD$$ — данный прямоугольник, а его диагонали $$AC$$ и $$BD$$ пересекаются в точке $$O$$ и перпендикулярны друг другу.

В прямоугольнике диагонали делятся точкой пересечения пополам, значит

$$AO=OC,\quad BO=OD.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$AOB$$ и $$BOC$$. У них

$$AO=OC,\quad BO=BO,$$

а угол $$\angle AOB=\angle BOC=90^\circ$$.

Следовательно, треугольники $$AOB$$ и $$BOC$$ равны по двум катетам. Отсюда

$$AB=BC.$$

Аналогично, из равенства прямоугольных треугольников $$BOC$$ и $$COD$$ получаем

$$BC=CD,$$

а из равенства $$COD$$ и $$DOA$$ —

$$CD=DA.$$

Значит, у прямоугольника $$ABCD$$ все стороны равны:

$$AB=BC=CD=DA.$$

Прямоугольник с равными сторонами является квадратом. Следовательно, $$ABCD$$ — квадрат.

Ответ

Если диагонали прямоугольника перпендикулярны, то этот прямоугольник является квадратом.