Упр.13.40 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Найдите отношение периметра правильного вписанного восьмиугольника к диаметру окружности и сравните его с приближённым значением $$n$$.

Пусть $$R$$ — радиус окружности, а $$a_8$$ — сторона правильного вписанного восьмиугольника.

Тогда по формуле для стороны правильного восьмиугольника

$$a_8=R\sqrt{2-\sqrt2}.$$

Периметр восьмиугольника равен

$$P=8a_8=8R\sqrt{2-\sqrt2}.$$

Диаметр окружности $$d=2R$$, поэтому

$$\frac{P}{d}=\frac{8R\sqrt{2-\sqrt2}}{2R}=4\sqrt{2-\sqrt2}.$$

Вычислим приближённо:

$$\sqrt2\approx1{,}414,\qquad 2-\sqrt2\approx0{,}586,$$

$$\sqrt{0{,}586}\approx0{,}765,$$

$$\frac{P}{d}\approx4\cdot0{,}765\approx3{,}06.$$

Сравним с числом $$\pi\approx3{,}14$$: полученное отношение меньше $$\pi$$.

Ответ: $$\frac{P}{d}=4\sqrt{2-\sqrt2}\approx3{,}06,\quad \text{это меньше } \pi.$$