Упр.5.40 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Построить: равнобедренный треугольник по основанию и радиусу
описанной окружности;
Построение:
1) Пусть даны отрезок a, равный основанию треугольника, и отрезок r,
равный радиусу описанной около треугольника окружности.
2) На произвольной прямой отложим отрезок BC, равный отрезку a;
3) Построим серединный перпеникуляр отрезка BC, для чего:
— Из точек B и C проведем окружности, радиуса BC;
— Через точки пересечения этих окружностей проведем прямую:
4) Так как треугольник равнобедренный, то данный перпендикуляр
является медианой, высотой и биссектрисой треугольника, значит
центр описанной окружности лежит на нем;
5) Из точки B проведем окружность радиуса r, на пересечении этой
окружности и перпендикуляра отметим точку O;
6) Из точки O проведем окружность радиуса r, на пересечении этой
окружности и перпендикуляра отметим точку A;
7) Треугольник ABC-искомый.

Подробный ответ

Пусть даны отрезок $$a$$, равный основанию треугольника, и отрезок $$r$$, равный радиусу описанной окружности.

1) На произвольной прямой отложим отрезок $$BC=a$$.

2) Построим серединный перпендикуляр к отрезку $$BC$$. Для этого из точек $$B$$ и $$C$$ проведём окружности одинакового радиуса, большего $$\frac{BC}{2}$$, и соединим точки их пересечения прямой. Полученная прямая — серединный перпендикуляр к $$BC$$.

3) Так как треугольник равнобедренный, то его высота, проведённая к основанию, одновременно является медианой и биссектрисой. Следовательно, центр описанной окружности лежит на серединном перпендикуляре к основанию.

4) На серединном перпендикуляре отметим точку $$O$$ так, чтобы $$OB=r$$. Для этого из точки $$B$$ проведём окружность радиуса $$r$$; её пересечение с серединным перпендикуляром даст точку $$O$$.

5) Проведём окружность с центром в $$O$$ и радиусом $$r$$. Точка $$A$$ — одна из точек пересечения этой окружности с серединным перпендикуляром, расположенная по другую сторону от прямой $$BC$$.

6) Соединим точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$. Треугольник $$ABC$$ — искомый: он равнобедренный, так как $$AB=AC$$, а окружность с центром $$O$$ и радиусом $$r$$ является его описанной окружностью.