Упр.13.4 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: у замкнутой ломаной расстояние между любыми двумя
вершинами не больше половины длины ломаной;
Доказательство:
1) Пусть данная замкнутая ломаная состоит из n вершин;
2) Возьмем произвольную вершину Ak (k < n), проведем отрезок A1 Ak; 3) Рассмотрим данную ломаную как две незамкнутые ломаные, концы которых соединяет отрезок A1 Ak, тогда по теореме 13.1: A1 Ak?A1 A2+A2 A3+...+A(k-1) Ak; A1 Ak?Ak A(k+1)+...+A(n-1) An+An A1; 4) Аналогично, если вместо вершины ломаной A1 концом отрезка является любая другая вершина; 5) Так как наша замкнутая ломаная состоит из этих двух незамкнутых ломаных, то по крайней мере одна из них имеет длину не большую, чем половина длины замкнутой ломаной, следовательно и отрезок A1 Ak имеет длину не большую, чем половина длины замкнутой ломаной, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть дана замкнутая ломаная $$A_1A_2\dots A_nA_1$$. Возьмём любые две её вершины; без ограничения общности пусть это $$A_1$$ и $$A_k$$.

Тогда ломаная распадается на две незамкнутые ломаные с общими концами $$A_1$$ и $$A_k$$:

$$A_1A_2+\dots+A_{k-1}A_k$$
и
$$A_1A_n+A_nA_{n-1}+\dots+A_{k+1}A_k.$$

По неравенству треугольника длина отрезка между концами любой ломаной не больше её длины, значит

$$A_1A_k \le A_1A_2+A_2A_3+\dots+A_{k-1}A_k,$$
$$A_1A_k \le A_1A_n+A_nA_{n-1}+\dots+A_{k+1}A_k.$$

Сложим эти неравенства. Получим:

$$2A_1A_k \le \bigl(A_1A_2+A_2A_3+\dots+A_{n}A_1\bigr),$$

то есть

$$A_1A_k \le \frac{1}{2}\bigl(A_1A_2+A_2A_3+\dots+A_nA_1\bigr).$$

Правая часть — это половина длины всей замкнутой ломаной. Следовательно, расстояние между любыми двумя вершинами замкнутой ломаной не больше половины её длины.