Упр.5.4 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Сформулируйте и докажите теорему, обратную утверждению задачи 3: если диаметр окружности перпендикулярен хорде, то он проходит через её середину.

Пусть $$AB$$ — хорда окружности, а $$O$$ — её центр. Диаметр проходит через точку $$C$$ хорды и перпендикулярен ей, то есть $$OC \perp AB$$.

Рассмотрим треугольники $$AOC$$ и $$BOC$$. Имеем:

• $$OA=OB$$, так как это радиусы одной окружности;
• $$OC$$ — общая сторона;
• $$\angle OCA=\angle OCB=90^\circ$$, поскольку $$OC \perp AB$$.

Следовательно, прямоугольные треугольники $$AOC$$ и $$BOC$$ равны по гипотенузе и катету. Значит, $$AC=CB$$.

Итак, точка $$C$$ — середина хорды $$AB$$, а диаметр, перпендикулярный хорде, проходит через её середину.