Вопрос 4 Параграф 5 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Пусть $$ABC$$ — данный треугольник, а $$O$$ — центр окружности, описанной около него.

Так как $$OA=OC$$ как радиусы одной окружности, то треугольник $$AOC$$ равнобедренный. Проведём медиану $$OD$$ к основанию $$AC$$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является одновременно высотой, значит

$$OD\perp AC$$

и точка $$D$$ — середина стороны $$AC$$. Следовательно, $$O$$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $$AC$$.

Аналогично, из равенства $$OA=OB$$ и $$OB=OC$$ получаем, что точка $$O$$ лежит и на серединных перпендикулярах к сторонам $$AB$$ и $$BC$$.

Значит, центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.