Упр.4.4 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Прямые АВ и CD параллельны. Докажите, что если отрезок ВС пересекает прямую AD, то точка пересечения принадлежит отрезку AD (см. рис. 70).

Подробный ответ

Пусть $$X$$ — точка пересечения отрезка $$BC$$ с прямой $$AD$$. Проведём через точку $$X$$ прямую $$x$$, параллельную прямой $$CD$$.

Прямая $$x$$ разбивает плоскость на две полуплоскости. Так как отрезок $$BC$$ пересекает прямую $$x$$ в точке $$X$$, то точки $$B$$ и $$C$$ лежат в разных полуплоскостях.

Поскольку $$AB \parallel CD$$ и $$x \parallel CD$$, то $$AB \parallel x$$. Значит, точки $$A$$ и $$B$$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $$x$$.

Аналогично, из $$CD \parallel x$$ следует, что точки $$C$$ и $$D$$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $$x$$.

Следовательно, точки $$A$$ и $$D$$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $$x$$. Поэтому отрезок $$AD$$ пересекает прямую $$x$$. Но точка пересечения прямых $$BC$$ и $$AD$$ уже обозначена через $$X$$, значит $$X \in AD$$.

Таким образом, если отрезок $$BC$$ пересекает прямую $$AD$$, то точка их пересечения принадлежит отрезку $$AD$$, что и требовалось доказать.