Вопрос 4 Параграф 8 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение: 4. Выведите формулы для координат середины отрезка.

Пусть точки $$A(x_1; y_1)$$ и $$B(x_2; y_2)$$ — концы отрезка, а точка $$C(x; y)$$ — его середина.

Проведём через точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ прямые, параллельные оси $$y$$. Они пересекут ось $$x$$ в точках $$A_1(x_1; 0)$$, $$B_1(x_2; 0)$$ и $$C_1(x; 0)$$.

Так как $$C$$ — середина отрезка $$AB$$, то по теореме Фалеса точка $$C_1$$ является серединой отрезка $$A_1B_1$$. Значит,

$$A_1C_1 = C_1B_1,$$

откуда

$$|x-x_1| = |x_2-x|.$$

Так как $$C_1$$ лежит между $$A_1$$ и $$B_1$$, получаем

$$x-x_1 = x_2-x.$$

Тогда

$$2x = x_1 + x_2,$$

следовательно,

$$x=\frac{x_1+x_2}{2}.$$

Аналогично, проводя через точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ прямые, параллельные оси $$x$$, получаем для ординаты середины:

$$y=\frac{y_1+y_2}{2}.$$

Ответ

$$x=\frac{x_1+x_2}{2}, \qquad y=\frac{y_1+y_2}{2}.$$