Упр.15.4 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что если прямые AB и CD скрещивающиеся, то прямые AC и BD тоже скрещивающиеся.
Предположим, что прямые $$AC$$ и $$BD$$ не скрещивающиеся. Тогда они либо пересекаются, либо параллельны. В обоих случаях эти прямые лежат в одной плоскости, значит точки $$A, C, B, D$$ принадлежат одной плоскости, обозначим её $$\alpha$$.
Тогда точки $$A$$ и $$B$$ лежат в плоскости $$\alpha$$, следовательно, по теореме о прямой, проходящей через две точки плоскости, прямая $$AB$$ принадлежит плоскости $$\alpha$$. Аналогично, так как точки $$C$$ и $$D$$ лежат в плоскости $$\alpha$$, то прямая $$CD$$ тоже принадлежит плоскости $$\alpha$$.
Получается, что прямые $$AB$$ и $$CD$$ лежат в одной плоскости, а значит, не могут быть скрещивающимися. Это противоречит условию.
Следовательно, наше предположение неверно, и прямые $$AC$$ и $$BD$$ скрещивающиеся.
