Вопрос 4 Параграф 14 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

Пусть $$ABC$$ — данный треугольник. Дополним его до параллелограмма $$ABCD$$.

По свойству параллелограмма $$AD=CB$$ и $$CD=AB$$.

Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$CDA$$. У них:

• $$AC$$ — общая сторона;
• $$CB=AD$$;
• $$AB=CD$$.

Следовательно, треугольники $$ABC$$ и $$CDA$$ равны по третьему признаку, значит, их площади равны:

$$S_{ABC}=S_{CDA}.$$

Площадь параллелограмма $$ABCD$$ равна сумме площадей этих треугольников:

$$S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{CDA}=2S_{ABC}.$$

Отсюда

$$S_{ABC}=\frac12 S_{ABCD}.$$

Высота $$CH$$ параллелограмма $$ABCD$$, проведённая к стороне $$AB$$, является и высотой треугольника $$ABC$$. Поэтому

$$S_{ABCD}=AB\cdot CH,$$

а значит

$$S_{ABC}=\frac12 AB\cdot CH.$$

Итак, площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.