Вопрос 4 Параграф 12 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что в любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол и против большего угла лежит большая сторона.

Пусть в треугольнике $$ABC$$ сторонам $$a$$, $$b$$, $$c$$ противолежат углы $$\alpha$$, $$\beta$$, $$\gamma$$ соответственно.

Докажем сначала, что если $$\alpha > \beta,$$ то $$a > b.$$

Рассмотрим два случая.

1. Если углы $$\alpha$$ и $$\beta$$ острые, то при большем остром угле синус больше, значит $$\sin \alpha > \sin \beta.$$

   По теореме синусов

   $$\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta},$$

   откуда

   $$\frac{a}{b}=\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} > 1,$$

   следовательно, $$a > b.$$

2. Если угол $$\alpha$$ тупой, то угол $$\beta$$ не может быть тупым, значит он острый. Тогда острый угол $$180^\circ-\alpha$$ больше угла $$\beta$$, поэтому

   $$\sin(180^\circ-\alpha) > \sin \beta.$$

   Но $$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin \alpha,$$ значит снова $$\sin \alpha > \sin \beta.$$

   По теореме синусов получаем $$a > b.$$

Теперь докажем обратное: если $$a > b,$$ то $$\alpha > \beta.$$

Предположим противное: $$\alpha \le \beta.$$

Если $$\alpha=\beta,$$ то треугольник равнобедренный и тогда $$a=b,$$ что противоречит условию $$a>b.$$

Если $$\alpha<\beta,$$ то по уже доказанному утверждению из неравенства углов следует $$a<b,$$ что также противоречит условию.

Следовательно, предположение неверно, и остается $$\alpha > \beta.$$

Итак, в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, а против большей стороны лежит больший угол.