Вопрос 4 Параграф 4 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите признак параллельности прямых.
Если внутренние накрест лежащие углы, образованные прямыми $$a$$ и $$b$$ с секущей $$AB$$, равны, то прямые $$a$$ и $$b$$ параллельны.
Докажем это от противного. Предположим, что прямые $$a$$ и $$b$$ не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке $$C$$.
Секущая $$AB$$ делит плоскость на две полуплоскости. В одной из них лежит точка $$C$$. Построим в другой полуплоскости треугольник $$BAC_1$$, равный треугольнику $$ABC$$.
По построению соответствующие углы треугольников $$ABC$$ и $$BAC_1$$ при вершинах $$A$$ и $$B$$ равны внутренним накрест лежащим углам при прямых $$a$$ и $$b$$ и секущей $$AB$$. Значит, прямая $$AC_1$$ совпадает с прямой $$a$$, а прямая $$BC_1$$ — с прямой $$b$$.
Но тогда через точки $$C$$ и $$C_1$$ проходят две различные прямые, что невозможно. Следовательно, наше предположение неверно, и прямые $$a$$ и $$b$$ параллельны.
Если сумма внутренних односторонних углов равна $$180^\circ$$, то каждый из них дополняет другой до развернутого угла, значит внутренние накрест лежащие углы равны. По уже доказанному признаку получаем, что $$a \parallel b$$.
