Вопрос 4 Параграф 12 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: в треугольнике против большего угла лежит большая сторона,
против большей стороны лежит больший угол;

Подробный ответ

Пусть в треугольнике $$ABC$$ сторонам $$a,b,c$$ противолежат углы $$\alpha,\beta,\gamma$$ соответственно. Докажем сначала, что если $$\alpha>\beta$$, то $$a>b$$.

Рассмотрим два случая.

1) Углы $$\alpha$$ и $$\beta$$ острые. Тогда при увеличении острого угла его синус возрастает, значит $$\sin\alpha>\sin\beta$$. По теореме синусов

$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}$$

откуда

$$\frac{a}{b}=\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}>1,$$

следовательно, $$a>b$$.

2) Угол $$\alpha$$ тупой. Тогда угол $$\beta$$ не может быть тупым, значит он острый. Угол $$180^\circ-\alpha$$ — острый и больше угла $$\beta$$ как внешний угол, не смежный с $$\beta$$. Поэтому

$$\sin(180^\circ-\alpha)>\sin\beta.$$

Но $$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha$$, значит $$\sin\alpha>\sin\beta$$. Снова по теореме синусов получаем

$$\frac{a}{b}=\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}>1,$$

то есть $$a>b$$.

Итак, из $$\alpha>\beta$$ следует $$a>b$$.

Докажем обратное: если $$a>b$$, то $$\alpha>\beta$$. Предположим противное: $$\alpha\le \beta$$.

Если $$\alpha=\beta$$, то треугольник $$ABC$$ равнобедренный, следовательно, $$a=b$$, что противоречит условию $$a>b$$.

Если $$\alpha<\beta$$, то по уже доказанному из $$\beta>\alpha$$ следует $$b>a$$, что также противоречит $$a>b$$.

Значит, предположение неверно, и действительно $$\alpha>\beta$$.

Следовательно, в любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона, а против большей стороны лежит больший угол.