Упр.9.4 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Построить: точку B’, симметричную точке B относительно точки A
используя только циркуль;
Построение:
1) Пусть даны точки A и B.
2) Разведем ножки циркуля на расстояние AB, все окружности будут
иметь данный радиус;
3) Построим окружности с центрами в точках A и B и отметим точку C
на одном из их пересечений;
4) Построим окружность с центром в точке C и отметим точку D на
пересечении этой окружности и окружности, проведенной из точки A;
5) Построим окружность с центром в точке D и отметим точку B’ на
пересечении этой окружности и окружности, проведенной из точки A;
6) Треугольники ABC, ACD и ADB’ равносторонние со стороной AB,
значит угол CAB = углу DAC = углу B’ AD=60°;

Подробный ответ

Пусть даны точки $$A$$ и $$B$$. Нужно построить точку $$B’$$, симметричную точке $$B$$ относительно точки $$A$$, пользуясь только циркулем.

Проведём построение.

Разведём ножки циркуля на расстояние $$AB$$.
Построим окружности с центрами в точках $$A$$ и $$B$$. Пусть одна из точек их пересечения — $$C$$.
Построим окружность с центром в точке $$C$$ и отметим точку $$D$$ на пересечении этой окружности с окружностью, проведённой из точки $$A$$.
Построим окружность с центром в точке $$D$$ и отметим точку $$B’$$ на пересечении этой окружности с окружностью, проведённой из точки $$A$$.

Треугольники $$ABC$$, $$ACD$$ и $$ADB’$$ равносторонние, так как все их стороны равны $$AB$$. Значит,

$$\angle CAB=\angle DAC=\angle B’AD=60^\circ.$$

Тогда

$$\angle BAB’=\angle CAB+\angle DAC+\angle B’AD=3\cdot 60^\circ=180^\circ.$$

Следовательно, точки $$B$$, $$A$$ и $$B’$$ лежат на одной прямой, причём

$$AB=AB’.$$

Значит, точка $$B’$$ симметрична точке $$B$$ относительно точки $$A$$.