Вопрос 4 Параграф 8 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Выведите формулы для координат середины отрезка.

Подробный ответ

Пусть $$A(x_1;y_1)$$ и $$B(x_2;y_2)$$ — концы отрезка, а $$C(x;y)$$ — его середина.

Проведём через точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ прямые, параллельные оси $$y$$. Они пересекут ось $$x$$ в точках $$A_1(x_1;0)$$, $$B_1(x_2;0)$$ и $$C_1(x;0)$$. Так как $$C$$ — середина отрезка $$AB$$, то по теореме Фалеса точка $$C_1$$ является серединой отрезка $$A_1B_1$$. Значит,

$$A_1C_1=C_1B_1,$$

откуда

$$|x-x_1|=|x_2-x|.$$

Так как $$C$$ лежит между $$A$$ и $$B$$, получаем

$$x-x_1=x_2-x.$$

Тогда

$$2x=x_1+x_2,$$

следовательно,

$$x=\frac{x_1+x_2}{2}.$$

Аналогично, проводя через точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ прямые, параллельные оси $$x$$, получаем для ординаты середины:

$$y=\frac{y_1+y_2}{2}.$$

Ответ: $$x=\frac{x_1+x_2}{2},\quad y=\frac{y_1+y_2}{2}.$$