Упр.10.39 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Даны стороны треугольника $$a$$, $$b$$ и $$c$$. Найдите его медианы $$m_a$$, $$m_b$$ и $$m_c$$.

Пусть $$ABC$$ — данный треугольник, а точки $$A_1,\,B_1,\,C_1$$ — середины его сторон $$BC,\,CA,\,AB$$ соответственно. Тогда

$$AB=c,\quad BC=a,\quad CA=b,$$

$$AA_1=m_a,\quad BB_1=m_b,\quad CC_1=m_c.$$

Отрезки $$A_1C_1$$ и $$A_1B_1$$ являются средними линиями треугольника $$ABC$$, значит

$$A_1C_1 \parallel AC,\quad A_1C_1=\frac12 AC=\frac b2,$$

$$A_1B_1 \parallel AB,\quad A_1B_1=\frac12 AB=\frac c2.$$

Следовательно, четырёхугольник $$AC_1A_1B_1$$ — параллелограмм. Для него по свойству диагоналей и ранее доказанной формуле получаем

$$AA_1^2+B_1C_1^2=2\left(AB_1^2+AC_1^2\right).$$

Подставим найденные выражения:

$$m_a^2+\left(\frac a2\right)^2=2\left(\left(\frac b2\right)^2+\left(\frac c2\right)^2\right).$$

Тогда

$$m_a^2+\frac{a^2}{4}=2\left(\frac{b^2}{4}+\frac{c^2}{4}\right),$$

$$4m_a^2=2(b^2+c^2)-a^2,$$

$$m_a=\frac12\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}.$$

Аналогично находим остальные медианы:

$$m_b=\frac12\sqrt{2(c^2+a^2)-b^2},$$

$$m_c=\frac12\sqrt{2(a^2+b^2)-c^2}.$$

Ответ: $$m_a=\frac12\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2},\quad m_b=\frac12\sqrt{2(c^2+a^2)-b^2},\quad m_c=\frac12\sqrt{2(a^2+b^2)-c^2}.$$