Упр.15.39 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: диагональ правильной четырехугольной призмы равна 3,5 см;
диагональ боковой грани 2,5 см;
Найти: объем призмы;
Решение:
1) Пусть ABCDA1 B1 C1 D1-данная призма, у которой:
AC1=3,5 см и C1 D=2,5 см;
2) Так как данная призма правильная, то ее основаниями являются
квадраты, а боковыми гранями-прямоугольники;
3) Проекция CD наклонной C1 D перпендикулярна прямой AD, значит
согласно теореме 15.3 наклонная C1 D также перпендикулярна AD;
4) В прямоугольном треугольнике ADC1 по теореме Пифагора:
AD=v(AC1^2-C1 D^2 )=v(3,5^2-2,5^2 )=v(12,25-6,25)=v6 см;
5) Так как ABCD-квадрат, то DC=AD=v6 см;
6) В прямоугольном треугольнике DCC1 по теореме Пифагора:
CC1=v(C1 D^2-DC^2 )=v(2,5^2-6)=v(6,25-6)=v0,25=0,5 см;
7) Найдем объем данной призмы:
S=Sосн•h=AD^2•CC1=6•0,5=3 см^3;
Ответ: 3 см^3.

Подробный ответ

Пусть $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ — данная правильная четырёхугольная призма. Тогда $$AC_1=3{,}5$$ см — диагональ призмы, а $$C_1D=2{,}5$$ см — диагональ боковой грани.

Так как призма правильная, её основание — квадрат, а боковые грани — прямоугольники. Проекция отрезка $$C_1D$$ на плоскость основания — это отрезок $$CD$$, причём $$CD \perp AD$$. Следовательно, по теореме о перпендикулярности наклонной к плоскости, $$C_1D \perp AD$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ADC_1$$. По теореме Пифагора:

$$ AD=\sqrt{AC_1^2-C_1D^2} =\sqrt{3{,}5^2-2{,}5^2} =\sqrt{12{,}25-6{,}25} =\sqrt6\ \text{см}. $$

Так как $$ABCD$$ — квадрат, то $$S_{\text{осн}}=AD^2=6\ \text{см}^2$$.

Теперь найдём высоту призмы $$CC_1$$ из прямоугольного треугольника $$DCC_1$$:

$$ CC_1=\sqrt{C_1D^2-CD^2} =\sqrt{2{,}5^2-6} =\sqrt{6{,}25-6} =\sqrt{0{,}25} =0{,}5\ \text{см}. $$

Тогда объём призмы равен:

$$ V=S_{\text{осн}}\cdot h=6\cdot 0{,}5=3\ \text{см}^3. $$