Упр.10.39 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение: 39. Даны стороны треугольника a, b и с. Найдите его медианы mа, mb и mс.

Пусть $$ABC$$ — данный треугольник, а точки $$A_1$$, $$B_1$$, $$C_1$$ — середины его сторон $$BC$$, $$CA$$ и $$AB$$ соответственно. Тогда

$$AB=c,\quad BC=a,\quad CA=b,$$

$$AA_1=m_a,\quad BB_1=m_b,\quad CC_1=m_c.$$

Рассмотрим отрезки $$A_1C_1$$ и $$A_1B_1$$. Они являются средними линиями треугольника $$ABC$$, значит,

$$A_1C_1 \parallel AC,\quad A_1C_1=\frac12 AC=\frac b2,$$

$$A_1B_1 \parallel AB,\quad A_1B_1=\frac12 AB=\frac c2.$$

Следовательно, четырёхугольник $$AC_1A_1B_1$$ — параллелограмм. Для него по свойству диагоналей и ранее доказанной формуле получаем:

$$AA_1^2+B_1C_1^2=2\left(AB_1^2+AC_1^2\right).$$

Подставим известные длины:

$$m_a^2+\left(\frac a2\right)^2=2\left(\left(\frac b2\right)^2+\left(\frac c2\right)^2\right).$$

Тогда

$$m_a^2+\frac{a^2}{4}=2\left(\frac{b^2}{4}+\frac{c^2}{4}\right),$$

$$4m_a^2=2b^2+2c^2-a^2,$$

$$m_a=\frac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}=\frac12\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)-a^2}.$$

Аналогично находим остальные медианы:

$$m_b=\frac12\sqrt{2\left(a^2+c^2\right)-b^2},$$

$$m_c=\frac12\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)-c^2}.$$

Ответ

$$m_a=\frac12\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)-a^2},\quad m_b=\frac12\sqrt{2\left(a^2+c^2\right)-b^2},\quad m_c=\frac12\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)-c^2}.$$