Упр.4.39 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Дан треугольник $$ABC$$. На продолжении стороны $$AC$$ отложены отрезки $$AD=AB$$ и $$CE=CB$$ (рис. 89). Как найти углы треугольника $$DBE$$, зная углы треугольника $$ABC$$?

Треугольники $$DBA$$ и $$BEC$$ равнобедренные, так как $$AD=AB$$ и $$CE=CB$$. Поэтому

$$\angle ADB=\angle DBA,\qquad \angle CBE=\angle BEC.$$

В треугольнике $$DBA$$ внешний угол при вершине $$A$$ равен сумме двух внутренних несмежных углов:

$$\angle ADB+\angle DBA=\angle A.$$

Так как $$\angle ADB=\angle DBA$$, то

$$\angle ADB=\angle DBA=\frac{\angle A}{2}.$$

Аналогично, в треугольнике $$BCE$$

$$\angle BEC+\angle CBE=\angle C,$$

откуда

$$\angle BEC=\angle CBE=\frac{\angle C}{2}.$$

Теперь найдём угол $$DBE$$:

$$\angle DBE=\angle DBA+\angle B+\angle CBE.$$

Подставим найденные значения:

$$\angle DBE=\frac{\angle A}{2}+\angle B+\frac{\angle C}{2}.$$

Так как в треугольнике $$ABC$$

$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ,$$

то

$$\angle DBE=\frac{\angle A+\angle C}{2}+\angle B=\frac{180^\circ-\angle B}{2}+\angle B=90^\circ+\frac{\angle B}{2}.$$

Ответ: $$\angle ADB=\angle DBA=\frac{\angle A}{2},\ \angle BEC=\angle CBE=\frac{\angle C}{2},\ \angle DBE=90^\circ+\frac{\angle B}{2}.$$