Упр.9.39 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Дано: два населенных пункта K и M расположены по разные стороны
от канала;
Найти: место в котором следует построить мост, перпендикулярно
берегам канала, и прямолинейные дороги так, чтобы путь между
данными пунктами был кратчайший;
Решение:
1) Пусть KK1 M1 M-кратчайший путь между точками K и M через
мост K1 M1;
2) Этот путь состоит из отрезка K1 M1, равного по длине ширине канала
и двух отрезков KK1 и M1 M, соединяющих населенные пункты с мостом;
3) Так как ширина канала-постоянная величина, то для кратчайшего
пути, сумма длин отрезков KK1 и M1 M должна быть наименьшей;
4) С помощью параллельного переноса сместим отрезок M1 M так, чтобы
точка M1 совпала с точкой K1, по свойству параллельного переноса:
KK1+K1 M2=KK1+M1 M;
5) Наименьшей является и сумма длин отрезков KK1 и K1 M2, значит
согласно неравенству треугольника точки K, K1 и M2 лежат на одной
прямой;
6) Таким образом, для нахождения требуемого местоположения моста
через канал достаточно сначала сместить точку M перпендикулярно
берегам канала на его ширину, а затем соединить построенную точку M2
с точкой K, искомой точкой K1 будет точка пересечения этой прямой с
линией берега канала, ближайшего к пункту K;
Обозначим через $$K_1$$ и $$M_1$$ точки на берегах канала, в которых мост пересекает берега. Тогда путь из $$K$$ в $$M$$ через мост состоит из отрезков $$KK_1$$, $$K_1M_1$$ и $$M_1M$$.
Так как мост строится перпендикулярно берегам канала, то длина отрезка $$K_1M_1$$ равна ширине канала и не зависит от выбора места моста. Значит, нужно сделать наименьшей сумму $$KK_1+M_1M$$.
Построим точку $$M_2$$ так, чтобы $$M_1M_2= M_1M$$ и отрезок $$M_1M_2$$ был перпендикулярен берегам канала. Тогда
$$KK_1+M_1M=KK_1+K_1M_2.$$
По неравенству треугольника сумма $$KK_1+K_1M_2$$ наименьшая тогда и только тогда, когда точки $$K$$, $$K_1$$ и $$M_2$$ лежат на одной прямой. Следовательно, искомая точка $$K_1$$ должна лежать на прямой $$KM_2$$.
Значит, нужно отложить от точки $$M$$ перпендикулярно берегам канала отрезок, равный ширине канала, получив точку $$M_2$$, а затем провести прямую $$KM_2$$. Точка пересечения этой прямой с берегом канала, ближайшим к пункту $$K$$, и есть место, где следует построить мост.
Ответ
Мост нужно построить в точке пересечения берега канала с прямой, соединяющей пункт $$K$$ с точкой $$M_2$$, полученной из $$M$$ переносом перпендикулярно берегам на ширину канала.
