Упр.14.38 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: равнобокая трапеция с основаниями 10 см и 24 см и боковыми
сторонами 25 см;
Найти: площадь трапеции;
Решение:
1) Пусть ABCD-данная трапеция, у которой AD?BC, со сторонами:
AB=CD=25 см, BC=10 см и AD=24 см;
2) Из вершин B и C трапеции опустим высоты BB1 и CC1 на сторону AD,
они равны как расстояния между параллельными прямыми BC и AD:
BB1=CC1=h;
3) BB1||CC1 и BB1=CC1, значит BB1 C1 C-параллелограмм, отсюда:
B1 C1=BC=10 см;
4) По свойству равнобокой трапеции: угол A=угол D;
5) Прямоугольные треугольники AB1 B и DC1 C равны по гипотенузе
и острому углу, значит:
AB1=DC1=(AD-B1 C1)/2=(24-10)/2=7 см;
6) В прямоугольном треугольнике AB1 B:
BB1=v(AB^2-AB1^2 )=v(25^2-7^2 )=v(625-49)=v576=24 см;
7) Найдем площадь данной трапеции:
S=(AD+BC)/2•BB1=(24+10)/2•24=34•12=408 см^2;
Ответ: 408 см^2.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — данная равнобокая трапеция, где $$AD \parallel BC$$, $$AB=CD=25$$ см, $$BC=10$$ см, $$AD=24$$ см.

Опустим из вершин $$B$$ и $$C$$ высоты $$BB_1$$ и $$CC_1$$ на основание $$AD$$. Тогда $$BB_1=CC_1=h$$ как расстояния между параллельными прямыми $$BC$$ и $$AD$$.

Так как $$BB_1 \parallel CC_1$$ и $$BB_1=CC_1$$, то четырёхугольник $$BB_1C_1C$$ — параллелограмм. Следовательно, $$B_1C_1=BC=10$$ см.

В равнобокой трапеции углы при основании равны, поэтому прямоугольные треугольники $$AB_1B$$ и $$DC_1C$$ равны по гипотенузе и острому углу. Отсюда

$$AB_1=DC_1=\frac{AD-B_1C_1}{2}=\frac{24-10}{2}=7\text{ см}.$$

Теперь найдём высоту трапеции из прямоугольного треугольника $$AB_1B$$:

$$ BB_1=\sqrt{AB^2-AB_1^2} =\sqrt{25^2-7^2} =\sqrt{625-49} =\sqrt{576} =24\text{ см}. $$

Тогда площадь трапеции равна

$$ S=\frac{AD+BC}{2}\cdot BB_1 =\frac{24+10}{2}\cdot 24 =17\cdot 24 =408\text{ см}^2. $$