Упр.15.38 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. По стороне основания $$a$$ и боковому ребру $$b$$ найдите объём правильной призмы: 1) треугольной; 2) четырёхугольной; 3) шестиугольной.

Объём правильной призмы равен произведению площади основания на высоту:

$$V=S_{\text{осн}}\cdot h.$$

В правильной призме боковое ребро перпендикулярно основанию, значит $$h=b.$$

Найдём площадь правильного $$n$$-угольника со стороной $$a$$. Разобьём его на $$n$$ равных треугольников с вершиной в центре. Тогда

$$S_{\text{осн}}=n\cdot S_{\triangle}.$$

Для одного такого треугольника:

$$S_{\triangle}=\frac12\cdot a\cdot OH,$$

где $$OH$$ — апофема правильного многоугольника. В прямоугольном треугольнике $$AOH$$

$$\tan \frac{180^\circ}{n}=\frac{AH}{OH}, \qquad AH=\frac a2,$$

откуда

$$OH=\frac{a}{2\tan \frac{180^\circ}{n}}.$$

Тогда

$$S_{\text{осн}}=n\cdot \frac12\cdot a\cdot \frac{a}{2\tan \frac{180^\circ}{n}}=\frac{na^2}{4\tan \frac{180^\circ}{n}}.$$

Следовательно,

$$V=\frac{nba^2}{4\tan \frac{180^\circ}{n}}.$$

Теперь подставим значения $$n$$.

1. Для правильной треугольной призмы $$\left(n=3\right)$$:

   $$V=\frac{3ba^2}{4\tan 60^\circ}=\frac{3ba^2}{4\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{4}a^2b.$$

2. Для правильной четырёхугольной призмы $$\left(n=4\right)$$:

   $$V=\frac{4ba^2}{4\tan 45^\circ}=a^2b.$$

3. Для правильной шестиугольной призмы $$\left(n=6\right)$$:

   $$V=\frac{6ba^2}{4\tan 30^\circ}=\frac{6ba^2}{4\cdot \frac1{\sqrt3}}=\frac{3\sqrt3}{2}a^2b.$$

Ответ: 1) $$\frac{\sqrt3}{4}a^2b$$; 2) $$a^2b$$; 3) $$\frac{3\sqrt3}{2}a^2b$$.