Упр.6.38 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

I)
Построить: ромб по углу и диагонали;
Построение:
1) Пусть даны отрезок d, равный диагонали ромба и угол A.
2) Построим биссектрису угла A, для чего:
— Проведем из его вершины окружность произвольного радиуса;
— Из точек пересечения этой окружности и сторон угла проведем две
окружности с таким же радиусом;
— Проведем луч из точки A через точку пересечения этих двух
окружностей;
3) На биссектрисе угла A отложим отрезок AC длины d;
4) Построим серединный перпендикуляр отрезка AC, для этого про-
ведем из точек A и C окружности радуса AC и проведем прямую через
точки их пересечения;
5) На пересечении серединного перпендикуляра и сторон угла A
отметим точки B и D;
6) ABCD-искомый ромб.
II)
Построить: ромб по диагонали и противолежащему углу;
Построение:
1) Пусть дан отрезок d, равный диагонали ромба и угол A.
2) Отметим середину отрезка d, построив его серединный перпендикуляр.
3) Построим биссектрису угла A, для чего:
— Проведем из его вершины окружность произвольного радиуса;
— Из точек пересечения этой окружности и сторон угла проведем две
окружности с таким же радиусом;
— Проведем прямую через точку A и точку пересечения этих двух
окружностей;
4) Отметим точки M и M1 на пересечении этой прямой и первой
окружности, проведенной из точки A;
5) Построим перпендикуляр к прямой MM1 в точке A, для чего:
— Проведем из точек M и M1 окружности радиуса MM1;
— Проведем прямую через точки пересечения этих окружностей;
6) Из точки A проведем окружность радиуса d/2 и отметим точки B1 и
D1 на пересечении этой окружности и перпендикуляра к прямой MM1;
7) Построим перпендикуляры к прямой B1 D1 аналогично пункту 5;
8) Отметим точки B и D на пересечении этих перпендикуляров и
сторон угла A;
9) Отметим точку O на пересечении прямой MM1 и отрезка BD;
10) Проведем из точки O окружность радиуса OA и отметим точку C
на пересечении этой окружности и прямой MM1;
11) ABCD-искомый ромб

I. Построение ромба по углу и диагонали, исходящей из вершины этого угла.

Пусть даны угол $$A$$ и диагональ $$AC=d$$.

1) Построим биссектрису угла $$A$$.

2) На биссектрисе отложим отрезок $$AC=d$$.

3) Построим серединный перпендикуляр к отрезку $$AC$$.

4) Точки пересечения серединного перпендикуляра со сторонами угла обозначим $$B$$ и $$D$$.

5) Соединим точки $$A, B, C, D$$. Получим четырёхугольник $$ABCD$$.

Так как $$AC$$ лежит на биссектрисе угла $$A$$, то $$AC$$ является диагональю ромба, а серединный перпендикуляр к ней проходит через вершины $$B$$ и $$D$$. Следовательно, $$AB=BC=CD=DA$$, то есть $$ABCD$$ — ромб.

II. Построение ромба по диагонали и противолежащему углу.

Пусть даны диагональ $$AC=d$$ и противолежащий угол $$C$$.

1) Построим отрезок $$AC=d$$ и отметим его середину $$O$$.

2) Построим биссектрису угла $$C$$.

3) Через точку $$O$$ проведём прямую, перпендикулярную биссектрисе угла $$C$$. Эта прямая будет содержать вторую диагональ ромба.

4) На этой прямой отметим точки $$B$$ и $$D$$ так, чтобы $$O$$ была серединой отрезка $$BD$$.

5) Соединим точки $$A, B, C, D$$.

В ромбе диагонали пересекаются и делятся пополам, а каждая диагональ биссектрисой делит соответствующие углы пополам. Поэтому построенный четырёхугольник $$ABCD$$ является ромбом.

Ответ

Ромб строится по указанным выше шагам: в первом случае — через биссектрису данного угла и серединный перпендикуляр к заданной диагонали, во втором — через середину диагонали и перпендикуляр к биссектрисе противолежащего угла.