Упр.9.37 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Для снабжения водой двух населённых пунктов, расположенных по одну сторону канала, надо построить на его берегу водонапорную башню. Где должна находиться башня, чтобы суммарная длина труб от неё до населённых пунктов (по прямой) была наименьшей?

Подробный ответ

Обозначим берег канала прямой $$a$$, а населённые пункты — точками $$A$$ и $$B$$.

Построим точку $$B’$$, симметричную точке $$B$$ относительно прямой $$a$$. Пусть прямая $$BB’$$ пересекает $$a$$ в точке $$M$$. Тогда $$BM=MB’$$ и $$BB’\perp a$$.

Проведём прямую $$AB’$$ и обозначим через $$O$$ точку её пересечения с прямой $$a$$.

Рассмотрим треугольники $$BMO$$ и $$B’MO$$. Они прямоугольные, при этом $$BM=MB’$$ и $$MO$$ — общий катет. Значит, треугольники равны, откуда $$BO=OB’$$.

Тогда

$$AO+OB=AO+OB’=AB’$$

Теперь возьмём любую другую точку $$X$$ на прямой $$a$$, отличную от $$O$$. Для треугольника $$AXB’$$ по неравенству треугольника имеем

$$AX+XB’>AB’$$

Следовательно,

$$AX+XB>AO+OB$$

Значит, сумма расстояний от башни до двух населённых пунктов будет наименьшей, если башню расположить в точке $$O$$ — в точке пересечения прямой $$a$$ с прямой, соединяющей $$A$$ и точку $$B’$$, симметричную $$B$$ относительно берега канала.

Ответ: башню нужно поставить в точке пересечения берега канала с прямой $$AB’$$, где $$B’$$ — отражение точки $$B$$ относительно прямой $$a$$.