Упр.15.37 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: основание прямого параллелепипеда ромб, площадь которого 1 м^2;
площади диагональных сечений равны 3 м^2 и 6 м^2;
Найти: объем параллелепипеда;
Решение:
1) Пусть ABCDA1 B1 C1 D1-данный параллелепипед, так как он прямой,
то его боковые ребра и грани перпендикулярны основанию, значит:
AA1,BB1-высоты параллелепипеда, а сечения AA1 C1 C и BB1 D1 D
являются прямоугольниками;
2) Пусть AC=d1,BD=d2 и AA1=BB1=h;
3) Площадь ромба ABCD составляет:
Sосн=1/2•AC•BD=1/2 d1 d2=1 м^2;
4) Площади диагональных сечений:
S(AA1 C1 C)=AC•AA1=d2 h=3 м^2 и S(BB1 D1 D)=BD•BB1=d1 h=6 м^2;
5) Перемножив левые и правые части равенств, получим:
(d1 h•d2 h)/(1/2 d1 d2 )=(3•6)/1 = > 2h^2=18 = > h^2=9,отсюда h=3 м;
6) Найдем объем параллелепипеда:
V=Sосн•h=1•3=3 м^3;
Ответ: 3 м^3.

Подробный ответ

Пусть $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ — данный прямой параллелепипед. Тогда его высота равна $$h=AA_1=BB_1$$, а диагональные сечения $$AA_1C_1C$$ и $$BB_1D_1D$$ являются прямоугольниками.

Обозначим диагонали основания ромба через $$AC=d_1$$ и $$BD=d_2$$. Тогда площадь основания:

$$S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}d_1d_2=1.$$

Площади диагональных сечений равны:

$$S_{AA_1C_1C}=AC\cdot AA_1=d_1h=3,$$

$$S_{BB_1D_1D}=BD\cdot BB_1=d_2h=6.$$

Перемножим эти равенства:

$$d_1h\cdot d_2h=3\cdot 6,$$

то есть

$$d_1d_2h^2=18.$$

Так как $$\frac{1}{2}d_1d_2=1,$$ то $$d_1d_2=2.$$ Подставим:

$$2h^2=18,$$

$$h^2=9,$$