Упр.14.37 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 37. Найдите площадь трапеции, у которой параллельные стороны 60 см и 20 см, а непараллельные — 13 см и 37 см.
Обозначим трапецию $$ABCD$$ так, что $$AD \parallel BC$$, $$AD=60$$ см, $$BC=20$$ см, $$AB=13$$ см, $$CD=37$$ см.
Опустим из вершин $$B$$ и $$C$$ высоты $$BB_1$$ и $$CC_1$$ на основание $$AD$$. Тогда $$BB_1=CC_1=h$$ — высота трапеции.
Так как $$BB_1 \parallel CC_1$$ и $$B_1C_1 \parallel BC$$, то $$BB_1C_1C$$ — параллелограмм, значит
$$B_1C_1=BC=20$$.
Пусть $$AB_1=x$$. Тогда
$$DC_1=AD-AB_1-B_1C_1=60-x-20=40-x.$$
В прямоугольном треугольнике $$ABB_1$$ имеем
$$h=\sqrt{AB^2-AB_1^2}=\sqrt{13^2-x^2}=\sqrt{169-x^2}.$$
В прямоугольном треугольнике $$DCC_1$$ получаем
$$h=\sqrt{CD^2-DC_1^2}=\sqrt{37^2-(40-x)^2}.$$
Приравняем выражения для высоты:
$$\sqrt{169-x^2}=\sqrt{37^2-(40-x)^2}.$$
Возведём в квадрат:
$$169-x^2=1369-(40-x)^2,$$
$$169-x^2=1369-(1600-80x+x^2),$$
$$169-x^2=1369-1600+80x-x^2,$$
$$80x=400,$$
$$x=5.$$
Тогда
$$h=\sqrt{169-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\text{ см}.$$
Площадь трапеции:
$$S=\frac{AD+BC}{2}\cdot h=\frac{60+20}{2}\cdot 12=40\cdot 12=480\text{ см}^2.$$
Ответ
$$480\text{ см}^2$$
