Упр.13.37 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 37. Периметры двух правильных n-угольников относятся как а : b. Как относятся радиусы их вписанных и описанных окружностей? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 pogorelov7-9 13-37 76

Пусть стороны данных правильных $$n$$-угольников равны $$a_1$$ и $$a_2$$. Тогда, так как правильные $$n$$-угольники подобны, отношение их соответствующих линейных размеров равно коэффициенту подобия $$k$$.

Периметр правильного многоугольника равен произведению стороны на число сторон, поэтому

$$P_1=na_1,\qquad P_2=na_2.$$

Следовательно,

$$\frac{P_1}{P_2}=\frac{a_1}{a_2}=\frac{a}{b},$$

то есть коэффициент подобия равен

$$k=\frac{a}{b}.$$

Радиусы вписанных окружностей у подобных многоугольников относятся так же, как и соответствующие стороны:

$$\frac{r_1}{r_2}=k=\frac{a}{b}.$$

Аналогично для радиусов описанных окружностей:

$$\frac{R_1}{R_2}=k=\frac{a}{b}.$$

Ответ

Радиусы вписанных окружностей относятся как $$a:b$$, и радиусы описанных окружностей относятся как $$a:b$$.