Упр.3.37 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Треугольники $$ABC$$ и $$BAD$$ равны, причём точки $$C$$ и $$B$$ лежат по разные стороны от прямой $$AB$$ (рис. 67). Докажите, что: 1) треугольники $$CBD$$ и $$DAC$$ равны; 2) прямая $$CD$$ делит отрезок $$AB$$ пополам.

Так как $$\triangle ABC \cong \triangle BAD,$$ то

$$AC=BD,\quad BC=AD,\quad \angle BAC=\angle ABD.$$

Рассмотрим треугольники $$CBD$$ и $$DAC.$$ У них

$$CD$$ — общая сторона, $$BC=AD,$$ $$BD=AC.$$

Следовательно, $$\triangle CBD \cong \triangle DAC$$ по третьему признаку. Отсюда

$$\angle BDC=\angle ACD.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$ACO$$ и $$BOD.$$ Имеем:

$$AC=BD,$$

$$\angle ACO=\angle BDO$$ — как углы при равных треугольниках $$CBD$$ и $$DAC,$$

$$\angle AOC=\angle BOD$$ — как вертикальные углы.

Значит, $$\triangle ACO \cong \triangle BOD$$ по второму признаку, поэтому

$$AO=BO.$$

Следовательно, точка $$O$$ — середина отрезка $$AB$$, то есть прямая $$CD$$ делит отрезок $$AB$$ пополам.

Ответ: $$AO=BO$$.