Упр.3.37 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказательство:
Треугольники ABC и BAD равны, значит
AC=BD, BC=AD и угол BAC = углу ABD;
1) Треугольники CBD и DAC равны по третьему
признаку (CD-общая сторона), отсюда
угол ACD = углу BDC;
2) Треугольники ACO и DBO равны по второму
признаку, отсюда AO=BO, что и требовалось
Доказать.

Подробный ответ

Так как $$\triangle ABC \cong \triangle BAD,$$ то соответствующие стороны и углы равны:

$$AC=BD,\quad BC=AD,\quad \angle BAC=\angle ABD.$$

Рассмотрим треугольники $$CBD$$ и $$DAC.$$ У них:

$$CD$$ — общая сторона;
$$BC=AD$$;
$$BD=AC.$$

Следовательно, $$\triangle CBD \cong \triangle DAC$$ по третьему признаку равенства треугольников. Отсюда

$$\angle BCD=\angle DAC,\quad \angle BDC=\angle DCA.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$ACO$$ и $$BOD.$$ Имеем:

$$\angle AOC=\angle BOD$$ как вертикальные;
$$\angle ACO=\angle BDO$$, так как они равны соответствующим углам равных треугольников $$CBD$$ и $$DAC$$;
$$AC=BD.$$

Значит, $$\triangle ACO \cong \triangle BOD$$ по второму признаку равенства треугольников. Тогда

$$AO=BO.$$

Следовательно, точка $$O$$ — середина отрезка $$AB$$, то есть прямая $$CD$$ делит отрезок $$AB$$ пополам.