Упр.14.37 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Найдите площадь трапеции, у которой параллельные стороны $$60\ \text{см}$$ и $$20\ \text{см}$$, а непараллельные — $$13\ \text{см}$$ и $$37\ \text{см}$$.

Пусть $$ABCD$$ — данная трапеция, где $$AD \parallel BC$$, $$AB=13$$ см, $$BC=20$$ см, $$CD=37$$ см, $$AD=60$$ см.

Опустим из вершин $$B$$ и $$C$$ перпендикуляры $$BB_1$$ и $$CC_1$$ на прямую $$AD$$. Тогда $$BB_1=CC_1=h$$ — высота трапеции.

Так как $$BB_1 \parallel CC_1$$ и $$B_1C_1 \parallel BC$$, то $$BB_1C_1C$$ — параллелограмм, значит

$$B_1C_1=BC=20$$.

Обозначим $$AB_1=x$$. Тогда

$$DC_1=AD-AB_1-B_1C_1=60-x-20=40-x.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABB_1$$:

$$h=\sqrt{AB^2-AB_1^2}=\sqrt{13^2-x^2}=\sqrt{169-x^2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$DCC_1$$:

$$h=\sqrt{CD^2-DC_1^2}=\sqrt{37^2-(40-x)^2}.$$

Приравняем выражения для высоты:

$$\sqrt{169-x^2}=\sqrt{37^2-(40-x)^2}.$$

Возведём в квадрат:

$$169-x^2=1369-(40-x)^2,$$

$$169-x^2=1369-(1600-80x+x^2),$$

$$169-x^2=1369-1600+80x-x^2,$$

$$80x=400,$$

$$x=5.$$

Тогда

$$h=\sqrt{169-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\text{ см}.$$

Теперь найдём площадь трапеции:

$$S=\frac{AD+BC}{2}\cdot h=\frac{60+20}{2}\cdot 12=40\cdot 12=480\text{ см}^2.$$

Ответ: $$480\text{ см}^2$$.