Упр.7.37 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: расстояние между центрами окружностей равно 5 см, а их
радиусы равны 6 см и 12 см;
Выяснить: могут ли эти окружности пересекаться;
Решение:
1) Пусть точки A и B-центры этих окружностей, тогда: AB=5 см;
2) Допустим, что окружности пересекаются по крайней мере в одной
точке-C, тогда: AC=6 см и BC=12 см;
3) Согласно неравенству треугольника для треугольник ABC:
AB < BC+AC = > 5 < 12+6 = > 5 < 18 -верно; BC < AB+AC = > 12 < 5+6 = > 12 < 11 -неверно; 4) Значит наше предположение неверно, следовательно данные окружности не пересекаются ни в какой точке; Ответ: не могут.

Подробный ответ

Пусть $$A$$ и $$B$$ — центры окружностей, тогда $$AB=5$$ см. Предположим, что окружности пересекаются в точке $$C$$. Тогда $$AC=6$$ см, $$BC=12$$ см.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Для него должно выполняться неравенство треугольника:

$$BC<AB+AC.$$

Подставим значения:

$$12<5+6,$$

то есть

$$12<11,$$

что неверно.

Следовательно, предположение о пересечении окружностей неверно. Эти окружности не имеют общих точек.