Упр.13.37 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Периметры двух правильных $$n$$-угольников относятся как $$a:b$$. Как относятся радиусы их вписанных и описанных окружностей?

Пусть стороны данных правильных $$n$$-угольников равны $$a_1$$ и $$a_2$$. Тогда их периметры:

$$P_1=na_1,\qquad P_2=na_2.$$

По условию

$$\frac{P_1}{P_2}=\frac{a}{b},$$

значит,

$$\frac{a_1}{a_2}=\frac{P_1}{P_2}=\frac{a}{b}.$$

Правильные $$n$$-угольники подобны, поэтому отношение их соответствующих линейных размеров равно коэффициенту подобия. Следовательно, отношение радиусов вписанных окружностей равно

$$\frac{r_1}{r_2}=\frac{a_1}{a_2}=\frac{a}{b}.$$

Аналогично для радиусов описанных окружностей:

$$\frac{R_1}{R_2}=\frac{a_1}{a_2}=\frac{a}{b}.$$

Ответ: радиусы вписанных окружностей относятся как $$a:b$$, и радиусы описанных окружностей тоже относятся как $$a:b$$.