Упр.4.36 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Дано: в треугольнике ABC проведена высота CD; угол A-тупой;
Найти: какая из точек A, B и D лежит между двумя другими;
Решение:
1) Так как угол A-тупой, то углы B и C-острые;
2) Точка B не может лежать между точками A и D, так как если бы она
лежала между ними, то острый угол CBD как внешний угол острого
угла B был бы тупым, что невозможно, так как угол CBD=90°;
3) Точка D не может лежать между точками A и B, так как в этом
случае в треугольнике CDA будет один тупой и один прямой угол,
что невозможно;
3) Следовательно, между двумя другими точками лежит точка A;
Ответ: точка A.

Так как $$CD$$ — высота треугольника $$ABC$$, то $$CD \perp AB$$, значит $$\angle CBD=90^\circ$$ и $$\angle CDA=90^\circ$$.

Поскольку $$\angle A$$ — тупой, то углы $$B$$ и $$C$$ острые.

Проверим, какая из точек $$A, B, D$$ может лежать между двумя другими.

Точка $$B$$ не может лежать между $$A$$ и $$D$$: если бы это было так, то луч $$BD$$ был бы внутренним лучом угла $$CBA$$, и угол $$CBD$$ оказался бы внешним углом острого угла $$B$$. Тогда он был бы тупым, но $$\angle CBD=90^\circ$$.

Точка $$D$$ не может лежать между $$A$$ и $$B$$: тогда в треугольнике $$CDA$$ были бы одновременно прямой угол $$\angle CDA=90^\circ$$ и тупой угол $$\angle CAD=\angle A$$, что невозможно, так как сумма углов треугольника равна $$180^\circ$$.

Следовательно, между двумя другими точками лежит точка $$A$$.

Ответ: точка $$A$$.