Упр.15.36 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: в прямом параллелепипеде стороны основания 2v2 см и 5 см
образуют угол 45°; меньшая диагональ параллелепипеда равна 7 см;
Найти: объем параллелепипеда;
Решение:
1) Пусть ABCDA1 B1 C1 D1 данный параллелепипед, у которого:
AB=2v2 см, AD=5 см, угол BAD=45° и B1 D=7 см;
2) Параллелепипед прямой, значит: BB1=h-его высота;
3) По свойству параллелограмма: AB=CD и BC=AD;
4) Треугольники ABD и CBD равны по трем сторонам, значит площадь
параллелограмма ABCD равна:
Sосн=2•SABD=2•1/2•AB•AD•sinугол BAD;
Sосн=2v2•5•v2/2=2•5=10 см^2;
5) В треугольнике ABD по теореме косинусов:
BD^2=AB^2+AD^2-2AB•AD•cosугол BAD;
BD^2=4•2+25-2•2v2•5•cos45°;
BD^2=33-20v2•v2/2=33-20=13;
6) В прямоугольном треугольнике DBB1 по теореме Пифагора:
h=BB1=v(B1 D^2-BD^2 )=v(7^2-13)=v(49-13)=v36=6 см;
7) Найдем объем данного параллелепипеда:
V=Sосн•h=10•6=60 см^3;
Ответ: 60 см^3.

Подробный ответ

Обозначим основание прямого параллелепипеда через параллелограмм $$ABCD$$, где $$AB=2\sqrt{2}$$ см, $$AD=5$$ см, $$\angle BAD=45^\circ$$. Высота параллелепипеда равна $$BB_1=h$$.

Найдём площадь основания:

$$ S_{осн}=AB\cdot AD\cdot \sin \angle BAD $$

$$ S_{осн}=2\sqrt{2}\cdot 5\cdot \sin 45^\circ =2\sqrt{2}\cdot 5\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=10\ \text{см}^2. $$

Теперь найдём диагональ $$BD$$ основания по теореме косинусов в треугольнике $$ABD$$:

$$ BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos \angle BAD $$

$$ BD^2=(2\sqrt{2})^2+5^2-2\cdot 2\sqrt{2}\cdot 5\cdot \cos 45^\circ $$

$$ BD^2=8+25-20\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=33-20=13. $$

Значит, $$BD=\sqrt{13}$$.

Меньшая диагональ параллелепипеда равна $$7$$ см, значит для прямоугольного треугольника с гипотенузой этой диагональю имеем:

$$ h^2+BD^2=7^2 $$

$$ h=\sqrt{7^2-13}=\sqrt{49-13}=\sqrt{36}=6\ \text{см}. $$

Тогда объём параллелепипеда: