Упр.9.36 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

9-36. Как изменится ответ к предыдущей задаче, если населённые пункты находятся в вершинах выпуклого четырёхугольника?

Подробный ответ

Обозначим вершины выпуклого четырёхугольника через $$A, B, C, D$$ и рассмотрим точку $$O$$ — точку пересечения его диагоналей.

Тогда

$$AO+OC=AC,\qquad BO+OD=BD,$$

значит,

$$AO+BO+CO+DO=AC+BD.$$

Возьмём произвольную точку $$X$$, не совпадающую с $$O$$. По неравенству треугольника в треугольнике $$ACX$$ имеем

$$XA+XC>AC,$$

а в треугольнике $$BDX$$

$$XB+XD>BD.$$

Складывая, получаем

$$XA+XB+XC+XD>AC+BD.$$

Но для точки $$O$$ сумма расстояний равна $$AC+BD$$, следовательно, для любой другой точки она больше. Значит, наименьшая сумма расстояний до четырёх населённых пунктов получается в точке пересечения диагоналей четырёхугольника.