Упр.8.36 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Составьте уравнение прямой $$AB$$, если:
1) $$A(2; 3),\ B(3; 2)$$;
2) $$A(4; -1),\ B(-6; 2)$$;
3) $$A(5; -3),\ B(-1; -2)$$.
Уравнение прямой будем искать в виде $$ax+by+c=0.$$ Тогда координаты каждой из данных точек должны удовлетворять этому уравнению.
1)
Для точек $$A(2;3)$$ и $$B(3;2)$$ получаем систему:
$$\begin{cases} 2a+3b+c=0,\\ 3a+2b+c=0. \end{cases}$$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$3a+2b+c-(2a+3b+c)=0,$$
$$a-b=0,\quad b=a.$$
Подставим $$b=a$$ в первое уравнение:
$$2a+3a+c=0,$$
$$5a+c=0,\quad c=-5a.$$
Тогда
$$ax+ay-5a=0.$$
Разделим на $$a$$:
$$x+y-5=0.$$
2)
Для точек $$A(4;-1)$$ и $$B(-6;2)$$ имеем:
$$\begin{cases} 4a-b+c=0,\\ -6a+2b+c=0. \end{cases}$$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$-6a+2b+c-(4a-b+c)=0,$$
$$-10a+3b=0,\quad 10a=3b,\quad a=\frac{3}{10}b.$$
Подставим это в первое уравнение:
$$4\cdot \frac{3}{10}b-b+c=0,$$
$$\frac{12}{10}b-b+c=0,$$
$$\frac{2}{10}b+c=0,\quad c=-\frac{1}{5}b.$$
Тогда
$$\frac{3}{10}bx+by-\frac{1}{5}b=0.$$
Умножим на $$10$$ и разделим на $$b$$:
$$3x+10y-2=0.$$
3)
Для точек $$A(5;-3)$$ и $$B(-1;-2)$$ получаем:
$$\begin{cases} 5a-3b+c=0,\\ -a-2b+c=0. \end{cases}$$
Вычтем второе уравнение из первого:
$$5a-3b+c-(-a-2b+c)=0,$$
$$6a-b=0,\quad b=6a.$$
Подставим $$b=6a$$ в первое уравнение:
$$5a-3\cdot 6a+c=0,$$
$$-13a+c=0,\quad c=13a.$$
Тогда
$$ax+6ay+13a=0.$$
Разделим на $$a$$:
$$x+6y+13=0.$$
Ответ: $$1)~x+y-5=0;\quad 2)~3x+10y-2=0;\quad 3)~x+6y+13=0.$$
