Упр.6.36 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что четырёхугольник, у которого все стороны равны, является ромбом.
Пусть $$ABCD$$ — данный четырёхугольник, у которого
$$AB=BC=CD=DA.$$
Докажем, что $$ABCD$$ — ромб.
Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$ADC$$. Они равнобедренные, так как
$$AB=BC,\qquad AD=DC.$$
Проведём высоты $$BO$$ и $$DO_1$$ к основанию $$AC$$. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой, значит
$$AO=OC,\qquad AO_1=O_1C.$$
Следовательно, точки $$O$$ и $$O_1$$ совпадают. Обозначим эту точку через $$O$$. Тогда прямая $$BD$$ проходит через середину диагонали $$AC$$ и перпендикулярна ей, то есть
$$BD\perp AC.$$
Теперь рассмотрим треугольники $$BCD$$ и $$BAD$$. Они также равнобедренные, поэтому высота $$CO$$ к стороне $$BD$$ является медианой, а значит
$$BO=OD.$$
Итак, диагонали четырёхугольника $$ABCD$$ пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Следовательно, $$ABCD$$ — параллелограмм. Но у параллелограмма все стороны равны, значит это ромб.
Ответ: четырёхугольник $$ABCD$$ является ромбом.
