Упр.11.36 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 36. Докажите, что у подобных треугольников периметры относятся как соответствующие стороны.

Пусть $$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$$, а коэффициент подобия равен $$k$$. Тогда соответствующие стороны пропорциональны:

$$\frac{A_1B_1}{AB}=\frac{B_1C_1}{BC}=\frac{A_1C_1}{AC}=k.$$

Отсюда

$$A_1B_1=k\cdot AB,\quad B_1C_1=k\cdot BC,\quad A_1C_1=k\cdot AC.$$

Периметры этих треугольников равны:

$$P_{ABC}=AB+BC+CA,$$

$$P_{A_1B_1C_1}=A_1B_1+B_1C_1+C_1A_1.$$

Подставим выражения для сторон подобного треугольника:

$$P_{A_1B_1C_1}=k\cdot AB+k\cdot BC+k\cdot CA=k(AB+BC+CA)=k\cdot P_{ABC}.$$

Следовательно,

$$\frac{P_{A_1B_1C_1}}{P_{ABC}}=k.$$

Значит, периметры подобных треугольников относятся как соответствующие стороны.

Ответ

$$\frac{P_{A_1B_1C_1}}{P_{ABC}}=\frac{A_1B_1}{AB}=\frac{B_1C_1}{BC}=\frac{A_1C_1}{AC}.$$