Упр.3.36 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. 35. Докажите, что прямые $$AB$$ и $$CD$$ перпендикулярны.

Треугольники $$ABC$$ и $$ABD$$ равны по третьему признаку, так как $$AC=BD$$, $$BC=AD$$ и $$AB$$ — общая сторона. Поэтому

$$\angle BAC=\angle ABD,\qquad \angle BCA=\angle ADB.$$

Из равенства треугольников $$CBD$$ и $$DAC$$ по третьему признаку получаем

$$\angle BDC=\angle ACD.$$

Тогда в треугольниках $$ACO$$ и $$DBO$$:

$$\angle ACO=\angle DBO,\qquad \angle AOC=\angle DOB,$$

следовательно, эти треугольники равны по второму признаку. Отсюда

$$AO=BO.$$

Значит, точка $$O$$ — середина отрезка $$AB$$. Так как в равнобедренном треугольнике $$CAD$$ отрезок, соединяющий вершину с серединой основания, является высотой, то

$$AO\perp CD.$$

Но $$AO$$ лежит на прямой $$AB$$, значит

$$AB\perp CD.$$