Упр.9.36 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Дано: четыре населенных пункта расположены в вершинах выпуклого
четрыехугольника;
Найти: в каком месте следует построить фабрику, чтобы сумма расстояний
от нее до всех данных пунктов была наименьшей;
Решение:
1) Обозначим данные населенные пункты через вершины A, B, C и D
произвольного выпуклого четырехугольника ABCD;
2) Отметим точку O на пересечении диагоналей AC и BD;
3) AO+OC=AC и BO+OD=BD, тогда AO+OC+BO+OD=AC+BD;
4) Возьмем произвольную точку X, не совпадающую с точкой O;
5) По неравенству треугольника для треугольник ACX: XA+XC > AC;
6) По неравенству треугольника для треугольник BDX: XB+XD > BD;
7) Если точка X лежит на одной из диагоналей, то неравенство будет
выполняться только для одного и зтих треугольников, однако в
любом случае: XA+XB+XC+XD > AC+BD;
8) Таким образом, сумма расстояний от вершин ABCD до точки X
больше, чем до точки O, следовательно точка O-искомая;
Ответ: в точке пересечения диагоналей четырехугольника.

Обозначим населённые пункты вершинами $$A, B, C, D$$ произвольного выпуклого четырёхугольника $$ABCD$$. Пусть $$O$$ — точка пересечения диагоналей $$AC$$ и $$BD$$.

Тогда

$$AO+OC=AC,\qquad BO+OD=BD,$$

следовательно,

$$AO+OC+BO+OD=AC+BD.$$

Возьмём произвольную точку $$X$$, не совпадающую с $$O$$. По неравенству треугольника для треугольника $$ACX$$ имеем

$$XA+XC>AC.$$

Аналогично, для треугольника $$BDX$$ получаем

$$XB+XD>BD.$$

Складывая эти неравенства, получаем

$$XA+XB+XC+XD>AC+BD.$$

Значит, сумма расстояний от точки $$X$$ до всех четырёх пунктов больше, чем сумма расстояний от точки $$O$$ до них. Следовательно, наименьшая сумма расстояний получается в точке пересечения диагоналей четырёхугольника.

Ответ

В точке пересечения диагоналей четырёхугольника.