Упр.15.36 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- В прямом параллелепипеде стороны основания $$2\sqrt{2}$$ см и $$5$$ см образуют угол $$45^\circ$$. Меньшая диагональ параллелепипеда равна $$7$$ см. Найдите его объём.
Пусть $$ABCD A_1B_1C_1D_1$$ — данный прямой параллелепипед, где $$AB=2\sqrt2$$ см, $$AD=5$$ см, $$\angle BAD=45^\circ$$, а меньшая диагональ параллелепипеда $$B_1D=7$$ см.
Найдём площадь основания. Основание — параллелограмм, поэтому
$$S_{осн}=AB\cdot AD\cdot \sin\angle BAD.$$
Тогда
$$S_{осн}=2\sqrt2\cdot 5\cdot \sin45^\circ=2\sqrt2\cdot 5\cdot \frac{\sqrt2}{2}=10\ \text{см}^2.$$
Теперь найдём диагональ основания $$BD$$ по теореме косинусов в треугольнике $$ABD$$:
$$BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos\angle BAD,$$
$$BD^2=(2\sqrt2)^2+5^2-2\cdot 2\sqrt2\cdot 5\cdot \cos45^\circ=8+25-20=13.$$
Значит, $$BD=\sqrt{13}$$.
Так как параллелепипед прямой, то $$BB_1$$ — его высота. В прямоугольном треугольнике $$DBB_1$$ по теореме Пифагора:
$$BB_1^2=B_1D^2-BD^2=7^2-13=49-13=36,$$
откуда
$$BB_1=6\ \text{см}.$$
Тогда объём параллелепипеда равен
$$V=S_{осн}\cdot BB_1=10\cdot 6=60\ \text{см}^3.$$
Ответ: $$60\ \text{см}^3$$.
