Упр.9.35 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Четыре населённых пункта расположены в вершинах параллелограмма. В каком месте следует построить фабрику, чтобы сумма расстояний от неё до всех четырёх данных пунктов была наименьшей?

Обозначим вершины параллелограмма через $$A, B, C, D$$, а точку пересечения его диагоналей — через $$O$$.

Так как диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, то

$$AO+OC=AC,\qquad BO+OD=BD.$$

Следовательно,

$$AO+BO+CO+DO=AC+BD.$$

Возьмём произвольную точку $$X$$, не совпадающую с $$O$$. Тогда по неравенству треугольника в треугольниках $$ACX$$ и $$BDX$$ имеем:

$$XA+XC>AC,$$

$$XB+XD>BD.$$

Складывая эти неравенства, получаем:

$$XA+XB+XC+XD>AC+BD.$$

Но для точки $$O$$ сумма расстояний равна именно $$AC+BD$$, значит, она меньше суммы расстояний до любой другой точки.

Следовательно, фабрику нужно построить в точке пересечения диагоналей параллелограмма, то есть в его центре.

Ответ: в центре параллелограмма.