Упр.6.35 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Углы, образуемые диагоналями ромба с одной из его сторон, относятся как $$4:5$$. Найдите углы ромба.

Пусть $$ABCD$$ — данный ромб. Диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам, значит в треугольнике $$AOB$$ угол между диагоналями равен $$90^\circ$$, а углы при вершинах $$A$$ и $$B$$ относятся как $$4:5$$.

Обозначим:

$$\angle OAB=4x,\qquad \angle ABO=5x.$$

Тогда в прямоугольном треугольнике $$AOB$$:

$$\angle OAB+\angle ABO=90^\circ,$$

$$4x+5x=90^\circ,$$

$$9x=90^\circ,\qquad x=10^\circ.$$

Следовательно,

$$\angle OAB=40^\circ,\qquad \angle ABO=50^\circ.$$

Так как диагонали ромба делят его углы пополам, то углы ромба равны:

$$\angle A=2\angle OAB=80^\circ,$$

$$\angle B=2\angle ABO=100^\circ.$$

Противоположные углы ромба равны, значит

$$\angle C=80^\circ,\qquad \angle D=100^\circ.$$

Ответ: $$80^\circ,\ 100^\circ,\ 80^\circ,\ 100^\circ.$$