Упр.3.35 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Отрезки $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются. Докажите, что если отрезки $$AC$$, $$CB$$, $$BD$$ и $$AD$$ равны, то луч $$AB$$ является биссектрисой угла $$CAD$$ и луч $$CD$$ — биссектрисой угла $$ACB$$ (рис. 66).

Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$ABD$$. По условию $$AC=CB$$ и $$AD=BD$$, а сторона $$AB$$ у них общая. Значит, $$\triangle ABC \cong \triangle ABD$$ по трём сторонам.

Отсюда равны соответствующие углы:

$$\angle CAB=\angle BAD,$$

следовательно, луч $$AB$$ является биссектрисой угла $$CAD$$.

Кроме того, из равенства треугольников получаем

$$\angle CBA=\angle ABD.$$

Так как $$AC=CB$$, треугольник $$ABC$$ равнобедренный, а значит, биссектриса из вершины $$C$$ к основанию $$AB$$ одновременно является высотой. Следовательно, прямая $$CD$$ перпендикулярна $$AB$$.

Но луч $$CD$$ лежит на прямой, перпендикулярной $$AB$$, а в равнобедренном треугольнике $$ACB$$ такая прямая, проведённая из вершины $$C$$, является и биссектрисой. Значит, луч $$CD$$ — биссектриса угла $$ACB$$.

Итак, $$AB$$ — биссектриса угла $$CAD$$, а $$CD$$ — биссектриса угла $$ACB$$.