Упр.4.35 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

В треугольнике $$ABC$$ проведена высота $$CD$$. Какая из трёх точек $$A$$, $$B$$, $$D$$ лежит между двумя другими, если углы $$A$$ и $$B$$ треугольника острые?

Пусть $$CD$$ — высота треугольника $$ABC$$, значит $$CD \perp AB$$ и $$\angle CDB = 90^\circ$$, $$\angle CDA = 90^\circ$$.

Предположим, что точка $$B$$ лежит между точками $$A$$ и $$D$$. Тогда луч $$BD$$ является продолжением луча $$BA$$, и угол $$CBD$$ был бы внешним углом треугольника $$ABC$$ при вершине $$B$$. Но угол $$B$$ по условию острый, значит такой внешний угол должен быть тупым. Это невозможно, так как $$\angle CBD = 90^\circ$$.

Аналогично точка $$A$$ не может лежать между точками $$B$$ и $$D$$.

Следовательно, между двумя другими точками лежит точка $$D$$.

Ответ: точка $$D$$.