Упр.15.35 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Измерения прямоугольного бруска — 3 см, 4 см, 5 см. Если увеличить каждое ребро на $$x$$ сантиметров, то поверхность увеличится на $$54\ \text{см}^2$$. Как увеличится объём?

Пусть после увеличения ребра прямоугольного бруска равны $$3+x,$$ $$4+x,$$ $$5+x.$$

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна

$$S=2(ab+bc+ac).$$

До увеличения:

$$S_1=2(3\cdot 4+4\cdot 5+3\cdot 5)=2(12+20+15)=94\text{ см}^2.$$

После увеличения площадь стала больше на $$54\text{ см}^2,$$ значит

$$S_2=94+54=148\text{ см}^2.$$

Составим уравнение:

$$2\bigl((3+x)(4+x)+(4+x)(5+x)+(3+x)(5+x)\bigr)=148.$$

Раскроем скобки:

$$2(12+7x+x^2+20+9x+x^2+15+8x+x^2)=148,$$

$$2(47+24x+3x^2)=148,$$

$$3x^2+24x-27=0,$$

$$x^2+8x-9=0.$$

Найдём корни:

$$D=8^2-4\cdot 1\cdot(-9)=64+36=100,$$

$$x=\frac{-8\pm 10}{2}.$$

Получаем $$x_1=1,$$ $$x_2=-9.$$ Так как ребра увеличивали, то $$x=1.$$

Тогда новые размеры бруска: $$4\text{ см},\ 5\text{ см},\ 6\text{ см}.$$

Найдём, во сколько раз увеличится объём:

$$V_1=3\cdot 4\cdot 5=60,$$

$$V_2=4\cdot 5\cdot 6=120.$$

Следовательно,

$$\frac{V_2}{V_1}=\frac{120}{60}=2.$$

Ответ: объём увеличится в 2 раза.