Упр.7.35 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Дано: вне окружности радиуса R взята точка на расстоянии d от центра;
Найти: найти наибольшее и наименьшее расстояния от этой точки до
точек окружности;
Решение:
1) Пусть O-центр данной окружности, а D-точка, лежащая вне этой
окружности, тогда: OD=d;
2) Проведем прямую OD, она пересекает окружность в точках A и B;
3) Так как отрезок AB проходит через точку O, то он является
диаметром данной окружности, значит: AB=2R и OA=OB=R;
4) Точка B лежит на отрезке OD, значит:
DB=OD-OB=d-R -наименьшее расстояние;
5) Точка B лежит на отрезке AD, значит:
DA=AB+DB=2R+(d-R)=R+d -наибольшее расстояние;
Ответ: d-R; R+d.

Пусть $$O$$ — центр окружности, а $$D$$ — точка вне окружности, причём $$OD=d$$.

Проведём прямую $$OD$$. Она пересекает окружность в точках $$A$$ и $$B$$. Тогда отрезок $$AB$$ проходит через центр $$O$$, значит, это диаметр окружности:

$$AB=2R,\qquad OA=OB=R.$$

Так как точка $$B$$ лежит на отрезке $$OD$$, то наименьшее расстояние от точки $$D$$ до окружности равно

$$DB=OD-OB=d-R.$$

Так как точка $$A$$ лежит на продолжении отрезка $$OD$$ по другую сторону от центра, то наибольшее расстояние от точки $$D$$ до окружности равно

$$DA=DB+AB=(d-R)+2R=d+R.$$

Ответ: $$d-R;\ d+R$$.