Упр.10.34 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что векторы $$\mathbf{a}=(m;n)$$ и $$\mathbf{b}=(-n;m)$$ перпендикулярны или равны нулю.

Найдём скалярное произведение данных векторов:

$$\vec a\cdot \vec b=m\cdot(-n)+n\cdot m=-mn+nm=0.$$

Если оба вектора ненулевые, то по формуле

$$\vec a\cdot \vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|\cos\varphi$$

получаем

$$\cos\varphi=\frac{\vec a\cdot \vec b}{|\vec a|\cdot|\vec b|}=0,$$

значит, $$\varphi=90^\circ.$$ Следовательно, векторы $$\vec a=(m;n)$$ и $$\vec b=(-n;m)$$ перпендикулярны.

Если же один из векторов равен нулю, то утверждение также верно по условию.

Ответ

$$\vec a \perp \vec b$$ или один из векторов равен нулю.